A partir de la matriz
hemos obtenido por transformaciones elementales la nueva matriz trapezoidal superior.
( La letra U, se asocia con la palabra inglesa UPPER ).
La relación entre A y U, siguiendo la secuencia de transformaciones elementales
es:
E3 - ( 10/ 3 ) 2 E3 - ( 6 ) 1 E2 - ( 4 ) 1 A = U
Luego
A = ( E3 - ( 10/3 ) 2 . E3 - ( 6 ) 1 . E2 - ( 4 ) 1 ) -1 U
por lo tanto
A = ( E2 - ( 4 ) 1-1 . E3 - ( 6 ) 1 -1. E3 - ( 10/ 3 ) 2-1 U
De donde
A = E2 + ( 4 ) 1 . E3 + ( 6 ) 1 . E3 + ( 10/ 3 ) 2 U
que es similar a la expresión (4.49).
Desarrollemos el producto
E2 + ( 4 ) 1 . E3 + ( 6 ) 1 . E3 + ( 10/ 3 ) 2 =
Si la matriz A fuese cuadrada entonces la matriz U sería una matriz triángular superior.
La matriz L es una matriz no singular, por ser un producto de matrices elementales (no singulares).
Si la matriz A fuese no singular, la matriz U también lo sería.
Las siguientes relaciones, a partir del ejemplo anterior, nos permitirán ilustrar un procedimiento práctico para hallar la descomposición LU de una matriz A.
Secuencia de premultiplicaciones por matrices elementales Matriz U obtenida
Secuencia de operaciones para obtener L (las inversas) Matriz L obtenida
La matriz L y la matriz U se pueden construir simultáneamente a medida que se efectuan las operaciones elementales en el proceso progresivo de obtención de ceros, por operaciones elementales sobre las filas de A, siempre y cuando no se intercambien filas, sin necesidad de escribir explícitamente las matrices elementales Ei.
A partir de la observación cuidadosa de las operaciones elementales sobre las filas de A, señaladas por los pasos (1), (2) y (3) en (*), concluimos:
Primer paso (1): Resultado: LU sobreescrita
Al terminar exitosamente la descomposición LU con sobreescritura concluimos que
Observaciones: · Los 1 en la diagonal de L se completan al final, ya que han sido sobreescritos por los elementos de la diagonal de U. · La matriz L es en todos los casos una matriz triangular inferior. · La matriz U es una matriz trapezoidal superior. · La razón por la cual los números 4 y 6 de A parecen no cambiar en L se debe a que el pivote utilizado en los pasos (1) y (2) fué 1. Este no es siempre el caso, como se puede observar al resolver otros ejercicios. · Los elementos que aparecen sucesivamente en L, los lik, en el paso (i,k)(lograr 0 en posición (i,k) de A), se podrían calcular por la fórmula uik/uii, i < k, donde uik es el elemento a eliminar en U (será 0 al terminar el paso i) y uii es el pivote que ya es un elemento de U calculado en el paso anterior. Por ejemplo, en el paso (2,1), u21 = a21 =4 y u11 = a11 = 1, luego l21 = a21/a11 = 4/1 = 4. La operación elemental utilizada fue fila 2 – 4 (fila 1), es decir (fila 2) – ( a21/a11 ) x (fila 1). Por ello es que l31 = a31/a11 = 6, y l32 = u32/u22 = (-10/-3) = 10/3. Este tipo de razonamiento sobre los subíndices lo utilizan quienes desarrollan métodos numéricos. Por ello los lenguajes de programación incorporan estructuras especiales para manejar los subíndices y para “sobreescribir” (sustituir) valores a medida que progresan los cálculos. La matriz L ( de lower ) es una matriz TRIANGULAR INFERIOR ( ya que Li j = 0 para todo i > j ) y como L es un producto de matrices elementales, además es no singular . ( posee inversa ). Esta descomposición de una matriz A en un producto LU se puede lograr siempre que las operaciones elementales no involucren cambio de filas y que además todas las operaciones elementales involucrando matrices de tipo Ep + ( c ) q , c ¹ 0, cumplan la condición q< p o sea que para obtener ceros hacia abajo se utilicen las filas superiores.
